原文
写了这么多篇缠论，来一篇期权，都是看家本领，一碗水要端平。
正所谓：少壮不努力，长大去卖方。
对于期权卖方来说，减轻资产组合的波动，提高胜率，delta对冲是必须的。
那么delta对冲后的盈亏来源是怎样的呢？今天的专栏文章就来说说这个问题。
（怎么这么像走进科学的开头……？）
现在假设我们进入了BSM的世界，无风险利率r = 0，红利率q = 0。为了更好体现本屌的身份，以下分析将从期权卖方的视角出发。
假设期权组卖出了一个Call，领导说，delta对冲，组员说，妥妥的。
于是我们手头上便有一个资产组合如下：
\Pi =\Delta S-V
其中π代表我们这个资产组合：包括一个Call（卖出用负号表示） 和 delta份标的资产。
根据上式，这个资产组合价值的瞬时变动，也就是我们的瞬时PnL如下：
d\Pi = d(\Delta S-V)=\Delta dS-dV
对于Call的PnL，我们可以通过泰勒展开进行分解（忽略二阶以上导数项）：
dV=\Delta dS+\frac{1}{2} \Gamma (ds)^{2} +\theta dt
其中，\Gamma , \theta 为期权的希腊字母Gamma和Theta，由于这里假设无风险利率为零，因此没有rho。
把上式代入瞬时PnL，可以得出在delta neutral的情况下整个资产组合的瞬时PnL：
d\Pi =\Delta dS-dV=\Delta dS-(\Delta dS+\frac{1}{2} \Gamma (ds)^{2}+\theta dt )=-\frac{1}{2} \Gamma (ds)^{2}-\theta dt =-\frac{1}{2} \Gamma (\sigma _{real} )^{2}S^{2}-\theta dt
在这里我们用到了一个结论：dS=\frac{dS}{S}S\approx \sigma _{real}S ，其中，\sigma _{real} 是已实现波动率（Realized Vol）
由于r = 0，因此在BSM框架下，Theta与Gamma有如下关系：
\theta =-\frac{1}{2} \Gamma \sigma _{imp}^{2} S^{2}
其中，\sigma _{imp} 是隐含波动率（implied Vol），这里可以看成是期权卖方报价时用于定价的波动率。
因此，整个组合的瞬时PnL就变成：
d\Pi =-\frac{1}{2} \Gamma (\sigma _{real} )^{2}S^{2}+\frac{1}{2} \Gamma \sigma _{imp}^{2} S^{2} dt
那么，整个组合的最终PnL就是对上式关于时间变量进行积分：
PnL =\int_{0}^{T} \frac{1}{2} \Gamma S^{2}\left\{ \sigma _{imp} ^{2}- \sigma _{real}^{2} \right\} dt
所以到最后，卖出期权然后进行delta hedge，作为期权的卖方的最终盈亏就是定价波动率与标的已实现波动率之差的线性组合。
因此，期权组的盈亏其实与两方面有关：
1. 你用什么波动率定价？
2. 你对未来波动率的预期？
到了最后，尼玛原来还是赌涨跌啊，只是从赌标的价涨跌转变成赌波动率涨跌。
实际上并不是这样，或者说，不完全是这样。
我们在研究基础资产价格的时候，都觉得它好像有规律又好像没有：跌了90%的股票还可以再跌90%，涨了90％的股票还可以再涨90%。各位学者研究员搞了无数多的模型，发现还是拿不准走势的节奏。
直到（隐含）波动率的出现。
为什么金融衍生品的研究这么看重波动率呢？是因为波动率有一个非常好的特征：均值回复。
由于均值回复的特性，比起价格序列的难以预知，波动率的预知性更好一点。
BS模型，虽然只是将我们从一个未知（价格）领向另一个未知（波动率），但是波动率这个未知比起价格序列这个未知，好像更加好把握，也就是说，未知的范围好像缩窄了，我们好像更接近金融学的真理了。
我觉得对波动率的研究大抵是因为如此。
因此delta hedge过后的盈亏，要比单边投机的盈亏稍微更好把握一点。
所有能赚钱的操作，其实都是基于主观判断。
然而对于本屌来说……单边投机我还能上缠论，赌波动率纯粹就是靠经验……
那还倒不如直接赌标的涨跌然后上杠杆来钱快啊！
组员们把这个结果上报给领导，领导说：那好，我们直接来一个期权CTA策略好了。
“老板！来三百张Call，虚值的！”
冼尼玛
2016/08/26
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