黎曼面单值化定理是曲面微分几何最为深刻而基本的定理之一，其证明方法丰富多彩，例如基于复分析的古典方法，基于Ricci流的现代方法，基于射影结构的代数方法等等。这里我们给出最为朴实无华的初等复变函数方法，简单直观并且可以直接推广到离散情形。

定理 （Poincare-Koebe Uniformization）任意一个单联通的黎曼面都和三个标准黎曼面中的一个共形等价：扩展复平面(单位球面)，复平面或者单位圆盘。

这一讲我们给出曲面单值化定理的一个基于复分析原理的初等证明。我们首先证明开的单连通黎曼面的情形，然后推广到闭单连通黎曼面的情形。

我们采用和组合单值化定理相似的证明手法。给定单联通的开曲面，和一个可数无穷的三角剖分，将三角剖分的面进行排列

使得是单联通的拓扑圆盘，然后构造一系列黎曼映照，

，满足归一化条件。当n趋向于无穷时，穷尽了可数无穷三角剖分，得到极限映射，的极限行为分成两种情况，或者覆盖整个复平面，或者覆盖单位圆盘。

证明的关键是从解析延拓到，所用的主要工具是Schwartz反射原理，这一方法使我们能够将一个解析函数的定义域拓展。

单位球面和扩展复平面彼此共形等价，共形同胚由球极投影映射给出。复平面和单位圆盘都是开集，因此和单位球面不同胚。Liuelville证明复平面和单位圆盘彼此并非共形等价。

定理 （Liouville’s theorem）假设全纯函数 有界，那么函数为常数 。

证明：根据Cauchy积分公式：

，

这里积分路径是以a为圆心，以为边界的圆。

，

当半径趋于无穷的时候，导数的模趋于0。因此，全纯函数为常数。

因此，复平面，单位圆盘和单位球面是三种彼此不共形等价的单联通黎曼面。我们下面证明所有单联通的黎曼面和其中的一种共形等价。

图1. Schwartz reflection principle。

定理（Schwartz Refelection Principle）假设是一个解析函数，定义在上半圆盘，可以拓展到定义在实数轴上的一个连续函数，那么能够被拓展到定义在整个单位圆盘上的解析函数，满足 。

令人惊讶的是虽然我们只假设函数沿着实数轴连续，没有关于可微性的假设，但是拓展后的函数沿着实数轴是解析的。通过应用Schwartz反射原理，我们可以将一个解析函数的定义域进行拓展，相应地，值域也随之拓展。

在实际应用中，实数轴可以被替换成圆周，这对于问题没有本质影响。

我们用Schwartz 反射原则来证明一个引理，这个引理将定义在新月形状区域上的解析函数延拓到整个圆盘，我们称之为新月满月引理。

图2. 初始映射。

图3. 解析延拓结果。

引理 （新月-满月）如图2所示，新月形状区域的边界是圆弧和，这里圆弧和在交点处的夹角为。共形映射（解析函数）的定义域为新月区域，，是圆弧。那么存在解析函数 ，如图3所示，满足

并且限制在每个区域的边界上 ， 和 为拓扑同胚。

图4. 第一步解析延拓。

证明：如图4所示，新月区域和关于圆弧对称，应用Schwartz反射原则，解析函数关于圆弧拓展成 。用黎曼映照

图将值域映成单位圆盘。复合映射为：

。

图5. 第二步解析延拓。

我们再次解析延拓，关于反射，得到新月形区域；我们将解析函数 应用Schwartz反射原则 拓展成

，

在复合黎曼映照 ，得到第二步解析延拓结果：

。

如此重复，我们得到解析延拓得到的共形映射

。

我们考察新月区域的内角，的内角为，我们有递推公式

因此第k步，所有的新月区域覆盖整个圆盘。由此，我们可以得到解析函数

并且

，

引理证明完毕。

定义在平面区域上的函数族被称为是正规函数族，如果对于函数族中的任意一个序列，存在一个子序列在的任意紧子集上一致收敛。由Koebe distortion 定理，我们可以得到下面的引理，

引理 在区域上取定一点，如果单值全纯函数族在此点的函数值和导数有界，那么是正规函数族。

我们用组合方式定义黎曼面。给定一个黎曼面，及其一个三角剖分，如果三角剖分具有有限个面，则曲面是闭曲面或者紧曲面；如果三角剖分具有可数无穷多个面，则曲面是开曲面。Van der Waerden 引理证明了特殊三角剖分的存在性，

引理 （Van der Waerden）假设是一个开的曲面，那么其三角剖分的面可以如下排列，

使得交于一条边或者两条边。

令是黎曼面的万有复迭空间，则是单联通的黎曼面，其三角剖分的面依照Van der Waerden方式排列，的所有边都是解析弧线，并且每个三角形都被某一个局部坐标系覆盖。我们欲证明下面的引理。

引理：对于任意一个n， 的内部被共形映射到开单位圆盘，，（是开单位圆盘），并且映射限制在边界上，是拓扑同胚。

证明：我们应用数学归纳法。假设的一个局部坐标系为，三角形，在 t-平面中的原像是，是单联通的区域，其边界是解析弧线。根据黎曼映照定理，存在全纯映射，将映到s-平面上的单位圆盘，并且边界映射为双射，。

图3. 归纳步骤。

假设在第n步， 被共形映到 s-平面上的单位圆盘，

，这里是s-平面上的单位圆盘。 共形映射限制在边界上是双射 。我们考虑 ，。局部坐标覆盖，，。，，。

在万有复迭空间中，令 开集，并且 ； 在局部坐标t-平面中，；在s-平面中，。我们用局部坐标表示映射，，。

我们在s-平面的单位圆内部，作出另外一条圆弧 ，两条圆弧

具有同样的端点。并且在端点处，两条圆弧的夹角为，这里k是一个足够大的正整数。两条圆弧所夹的新月形区域记为 ，；在万有复迭空间中的原像记为 B，；在局部坐标平面中的像记为 B'，。

这三个区域,B,B'，彼此共形等价。

我们欲证明存在全纯映射 和 ，满足：

1.  共形映射将新月区域映到，将映到，这

2. 共形映射将映到，将映到，

3.  在区域B'上，，

4. 为开单位圆盘。

   
   

这样，映射的合并给出了从到单位圆盘的共形映射。

图4. 共形映射的合并。

我们下面来构造映射。根据黎曼映照定理，存在共形映射 ，将映到单位圆盘，圆盘的中心在内部。这样，复合映射

将新月形区域映到。注意，共形映射的定义域是新月形区域，在上没有定义。根据新月-满月引理，存在满足要求的全纯函数。这就证明了的存在性。证明完毕。

定理：开黎曼面或者和整个复平面共形等价，或者和单位圆盘

共形等价。

证明：我们构造函数序列

，

在上单值，全纯，在点归一化，因此是正规函数族。我们选择一个子序列，在内部收敛到单值函数，我们挑选子序列 

在内部收敛到单值全纯函数 。

同样，我们构造函数序列

,

得到子序列

在内部收敛到单值全纯函数 ，并且在上的限制等于，我们仍然记之为。

重复这一步骤，应用对角线法则，我们得到函数序列

这里在上有定义，只要，并且在上序列收敛到。因为穷尽整个开黎曼面，在上单值，将映射到s-平面的单联通区域

。因为为开曲面，不可能是扩展复平面。因此，或者是整个复平面，或者是复平面内的一个区域，根据黎曼映照定理，可以映射到单位圆盘。证明完毕。

定理：紧单联通黎曼面和单位球面共形等价。

证明：的三角剖分包含有限个三角形，，最后一个三角形和有三条公共边。我们选取一内点 ，将这点去掉，得到开的黎曼面，，根据开黎曼面的单值化定理，存在共形映射，，将开黎曼面映到单位圆盘或者整个复平面。

在s-复平面上，令 ，，点，映到原点。令是以原点为中心的圆盘，那么在此圆盘之外。函数将映到w-平面上的有界区域。考察函数定义在上的函数，w在q点的一个邻域内有界，所以q点是函数w的可去奇异点。令q点在w-平面上的像点为。

假设不是整个复平面，而是单位圆盘，在中选取点列, 期聚点在单位圆周上，对应的点列在曲面上为。因为 为紧曲面，点列的聚点在曲面上，但是的所有点在s-平面上的像都不在单位圆周上，因此 。对于单位圆周上的任意点，都存在点列收敛到点，因此。但是有无穷多个取值，这意味着有无穷多个，矛盾。因此假设错误，是整个复平面，和扩展复平面共形等价。定理得证。

请长按下方二维码，选择 “识别图中二维码”，即可关注。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

回复“目录”，可以浏览往期精华；回复“智商”，可以阅读“如何从大脑形状判断一个人的智商”；回复“象牙塔”，可以阅读“纯粹数学走出象牙塔”；回复“概览”，可以阅读“计算共形几何概览”。